A forma correta implica o uso da preposição de1 (cf. Dicionário de Regimes de Substantivos e Adjetivos, de Francisco Fernandes). O adjetivo convicto seleciona uma oração completiva preposicionada (introduzida pela preposição de), razão pela qual a construção «convicto de que» é a que deve ser usada.
Para que não haja dúvidas, importa assinalar que a estrutura «convicto de que» é incluída por Malaca Casteleiro, em Sintaxe Transformacional do Adjectivo: Regência das Construções Completivas (Lisboa, INIC, 181, p. 496) na lista de adjetivos que determinam o padrão Vcopulativo + Adjetivo + de que-Frase (completiva), atestando a construção da frase do seguinte forma:
«Estou convicto de que as coisas vão melhorar.»
Nota: Para além da preposição de, o adjetivo convicto admite também, quando não seleciona uma oração completiva, mas um sintagma nominal, a regência com a preposição em, conforme se verifica nos seguintes exemplos:
«Estava muito convicto de que a velha era servida de favores do alto e sempre mais ou menos inspirada, atentavam religiosamente no que ela dizia» (Camilo Castelo Branco).
«Estava muito convicto da força das suas ideias» (Luís Viana Filho, A Vida de Rui Barbosa, 63).
«Firmes e convictos na sua fé como antigos sacerdotes de Tiro ou de Cartago, oferecendo aos deuses aplacados o sacrifício expiatório da rês humana» (Ramalho Ortigão, A Holanda, 2).
1 Repare-se que o adjetivo convicto segue a regência do verbo correspondente — convencer-se —, tal como nos indica Inês Duarte no estudo que dedica às «completivas com uma relação gramatical oblíqua selecionadas por certos verbos», lembrando que, «consoante as propriedades dos verbos que as selecionam, as completivas finitas oblíquas podem ser antecedidas por diferentes preposições. As preposições que antecedem mais frequentemente completivas finitas são a [como verbos como arriscar-se, atender, conduzir, dever-se, habituar-se, levar, limitar-se, recusar-se, resistir], de [com verbos como aperceber-se, arrepender-se, avisar (alguém), convencer-se, discordar, envergonhar-se, esquecer-se, lembrar-se, provir, recordar-se], em [com verbos como apoiar-se, assentar, estar, basear-se, concordar, consentir, insistir, residir] e por [com verbos como bater-se, culpar (alguém), esforçar-se, interessar-se, lutar, pugnar, responsabilizar-se, velar, zelar] (Mira Mateus et alii, Gramática da Língua Portuguesa, Lisboa, Caminho, 2003, p. 615).
N. B. - Sobre a possibilidade de omissão das preposições antes de oração completiva, consultar os Textos Relacionados.