O constituinte «à astronomia» tem a função sintática de complemento indireto.

O complemento indireto é um complemento preposicional cujo núcleo é a preposição a. A possibilidade de ser substituído por um pronome dativo é considerada condição necessária para a identificação desta função, o que a permite distinguir da função de complemento oblíquo, que se identifica por o constituinte não poder ser substituída pelo pronome dativo.

O contraste entre (1) e (2) evidencia esta distinção:  

(1) «Deu um livro à Maria.» («Deu-lhe um livro.»)

(2) «Fui à casa do João.» («*Fui-lhe»)

Em (1), o constituinte «à Maria» é complemento indireto, e em (2), «à casa do João» é complemento oblíquo.

No que respeita à frase apresentada, começaremos por colocá-la na 3.ª pessoa do singular para permitir a pronominalização dos seus constituintes:

(3) «Dedica-se à astronomia.»

Se substituirmos por pronomes, teremos a frase:

(3a) «Dedica-se-lhe.»

Concluímos, deste modo, que o constituinte «à astronomia» desempenha a função de complemento indireto. 

Disponha sempre.