A frase apresentada – «[(Há) dias que não se esquecem.» – é uma frase complexa que apresenta uma oração subordinada adjetiva relativa (que não se esquecem), construída com o verbo esquecer que é um verbo transitivo direto ( X esquece Y).

Vejamos (i) e (ii):

(i) «Dias que não se esquecem.»

(ii) «Dias que não se esquece.»

Ambas as frases estão corretas. O verbo concorda com o sujeito, nunca com o complemento direto.

Passemos à análise.

Em ambas as frases existe uma oração relativa restritiva: «Que não se esquecem» em (i) e «Que não se esquece» em (ii).

Em (i), o pronome relativo recupera os traços de género e número do seu antecedente, dias, nome masculino, plural. Vejamos a paráfrase: (Há) dias que_Sujeito não são esquecidos por (se) alguém. Nesta frase o se é uma partícula apassivante cuja função sintática é complemento agente da passiva. Esta frase é gramatical e encontra-se na forma passiva e denomina-se passiva pronominal¹

Em (ii), a frase está na forma ativa e a paráfrase é (Há) dias que alguém (se) não esquece, tratando-se, neste caso, de uma frase com sujeito nulo indeterminado, como o consulente diz. Denomina-se construção com se impessoal²

Ambas  as frases são corretas, dado que, em (i), o se é o agente da passiva e  o verbo concorda com o sujeito, o pronome relativo que (dias). Em (ii), o se é o sujeito da frase e o pronome relativo que (dias) é o complemento direto.

Vejamos outro exemplo:

(iii) «Alugam-se apartamentos.»

(iv) «Aluga-se apartamentos.»

Em (iii), o sujeito (apartamentos) concorda com o verbo ( 3.ª pessoa do plural), sendo o se o agente da passiva (Apartamentos são alugados por alguém (se). Trata-se de uma oração passiva pronominal.

Em (iv), o sujeito (se) concorda com o verbo (3.ª pessoa do singular), sendo o se o sujeito nulo indeterminado (Alguém) e o complemento direto (apartamentos) = ( Alguém(Se) aluga apartamentos. Trata-se de uma oração de se impessoal. 3

^{1 e 2} Vide Gramática do português, cap. 13, vol. I, Fundação Calouste Gulbenkian, pp. 444-447. 

³  A colocação do verbo no singular ou no plural nas frases com a partícula se é um tema não consensual na língua portuguesa. Vide, por exemplo, as seguintes respostas e textos: O verbo ver com a partícula apassivante + Vende-se ou vendem-se? + O predicativo do sujeito e o se da construção impessoal reflexa + Aluga-se esta casa. E estes outros registos: Aluga-se ou alugam-se carros? + Alugam-se ou aluga-se? + Vende-se ou vendem-se casas? + Aluga-se ou arrenda-se? + Sem/Cem erros (re)correntes em português.