Com os tempos compostas de verbos na voz ativa, os advérbios melhor e pior mantêm estas formas, e, portanto, a frase correta é «a Coreia do Sul é um dos países que melhor têm controlado a pandemia».

Diz-se e escreve-se melhor, porque o advérbio está a modificar um tempo composto na voz ativa: «tem controlado».

No âmbito da tradição normativa, só se imporia «mais bem» como comparativo/superlativo de bem se se tratasse da voz passiva ou de um particípio passado usado adjetivalmente: «a pandemia foi mais bem controlada na Coreia do Sul»; «os surtos mais bem controlados foram os da Coreia do Sul»¹.

Claro que «mais bem/mal» é compatível com a construção que exprime posse ou resultado e que se confunde com tempos compostos: «O presidente da Coreia do Sul tem o seu parlamento mais bem controlado do que os presidentes dos outros países».

¹ Cf. Celso Cunha e Lindley Cintra, Nova Gramática do Português Contemporâneo, 1984, p.  546:

«A par [de melhor e pior], existem os comparativos regulares mais bem e mais mal, usado , de preferência, antes de adjetivos-particípios:

As paredes da sala estão mais bem pintadas que as dos quartos.

Não pode haver um projeto mais mal executado do que este.»