Consultei várias obras, e a conclusão que tiro é que não se repete o travessão na mudança de linha. No entanto, não há critério fixo para a colocação do travessão: pode aparecer tanto no final da linha como no princípio; por exemplo:

«Da comissão de reforma ortográfica faziam parte
os sábios mais competentes na etimologia portuguesa
— Gonçalves Viana, Leite de Vasconcelos,
Carolina Michaëlis —, os que melhormente
estudaram a história de nossa língua e a de
nossa literatura [...] (Mário Barreto, De Gramática e de Linguagem, t. II, pág. 82 (I).)»

(Rebelo Gonçalves, Tratado de Ortografia da Língua Portuguesa, Lisboa, pág. 397)

«Duas, três vezes por semana, havia de lhe deixar na algibeira das calças —
uma[s] largas calças de enfiar —, ou na gaveta da mesa, ou ao pé do tinteiro,
uma barata morta.»

(Machado de Assis, Memórias Póstumas de Brás Cubas, citado por Evanildo Bechara, Moderna Gramática Portuguesa, Rio de Janeiro, Editora Lucerna 612)

Assim, recomendo que, na falta de uma regra clara, se adopte um critério uniforme num dado texto: na mudança de linha, o travessão deve ficar sistematicamente ou no fim da linha ou no princípio da seguinte.

Cf. Emprego do hífen + O uso do hífen e do travessão + Travessões e outros prazeres