A análise proposta pela consulente é correta, dando conta de um comportamento distinto do verbo começar nas duas frases.
O verbo começar pode ter naturezas diversas:
(i) verbo intransitivo:
     (1) «A aula começou.»
(ii) verbo transitivo direto:
     (2) «O João começou o trabalho.»
(iii) verbo transitivo indireto:
      (3) «O trabalho começa na página dois.»
Para identificar os complementos do verbo, distinguindo-os dos modificadores, podemos fazer uso de dois testes sintáticos: o teste da estrutura pseudoclivada e o teste de clivagem. Estes têm como objetivo separar o modificador do verbo e seus complementos. Apliquemo-los às frases apresentadas pela consulente.
(i) Teste da estrutura pseudoclivada:
    (4) «O que este percurso pedestre faz é começar num miradouro.»
    (4a) «*O que este percurso pedestre faz num miradouro é começar.»          
    (5) «?O que este percurso pedestre faz é começar agora.»
    (5a) «O que este percurso pedestre faz agora é começar.»
(ii) Teste de clivagem:
      (4c) «*É começar num miradouro que o percurso pedestre faz?»
      (4d) «É começar que o percurso pedestre faz num miradouro?»
      (5c) «É começar agora que o percurso pedestre faz?»
      (5d) «?É começar que o percurso pedestre faz agora?»
Os testes mostram-nos que o verbo começar na frase (4) não aceita separar-se de «num miradouro», o que indica que este constituinte tem a função de complemento oblíquo, sendo o verbo transitivo indireto. Já na frase (5), o verbo aceita separar-se de agora, o que aponta para o facto de o constituinte desempenhar a função de modificador do grupo verbal, sendo o verbo intransitivo.
Disponha sempre!
 
*assinala a inaceitabilidade da frase.
?assinala a estranheza da frase.