Em primeiro lugar, uma chamada de atenção: nem todas as formas portuguesas de corónimos1 e topónimos estrangeiros têm uso. Por exemplo, diz-se Milão em vez de Milano, mas usa-se Buenos Aires em lugar de "Bons Ares", que seria a versão portuguesa correspondente. Um critério para usar o aportuguesamento de corónimos e topónimos estrangeiros acha-se, por exemplo, na Base LI do Acordo Ortográfico de 1945:
«Recomenda-se que os topónimos de línguas estrangeiras se substituam, tanto quanto possível, por formas vernáculas, quando estas sejam antigas em português, ou quando entrem, ou possam entrar, no uso corrente. Exemplos: Anvers, substituído por Antuérpia; Berne, por Berna; Canterbury, por Cantuária; Cherbourg, por Cherburgo; Garonne, por Garona; Helsinki, por Helsínquia; Jutland, por Jutlândia; Louvain, por Lovaina; Mainz, por Mogúncia; Montpellier, por Mompilher; München, por Munique; Zürich, por Zurique; etc.»
Feita esta advertência, limitar-me-ei ao português europeu na identificação dos corónimos e topónimos em questão, para o que me apoiarei nas obras de Rebelo Gonçalves que seguem o Acordo Ortográfico de 1945, no Tratado de Ortografia da Língua Portuguesa (TOLP), de 1947, e no Vocabulário da Língua Portuguesa (VLP), publicado em 1966; referirei também o Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa, publicado em 2009 pela Porto Editora (VOLP PE), obra em que se aplica o Acordo Ortográfico de 1990. Assinale-se que a comparação entre as obras de Rebelo Gonçalves com o VOLP PE de 2009 permite encontrar alguns contrastes em relação a nomes geográficos, que decorrem naturalmente de alterações no mapa político mundial e na projecção de estrangeiros países na comunicação social de Portugal nos últimos sessenta anos.
Assim, pela mesma ordem em que aparecem na pergunta:
"Adiguésia"/"Adigueia" (república russa): não consta de nenhuma das obras consultadas; não há forma de uso generalizado.
"Ajária/Adjária (república russa): não consta de nenhuma das obras consultadas; não há forma de uso generalizado.
Anju (França) «topónimo: equiv[alente] vern[áculo] do fr[ancês] Anjou» (VLP); não consta do VOLP PE.
Arrochela (França): «topónimo: equiv[alente] vern[áculo] do fr[ancês] La Rochelle» (VLP); também consta do VOLP PE.
Basquíria (Federação Russa): não consta do VLP nem do TOLP, mas encontra-se regist{#|r}ada no VOLP PE.
Bizerta (Tunísia): VLP; não consta do VOLP PE.
Bucóvina (Roménia): VLP; não consta do VOLP PE
Camecháteca (Federação Russa): não consta do VLP nem do TOLP, nem do VOLP PE, mas I. Xavier Fernandes (Topónimos e Gentílicos, vol. 1, Porto, Editora Educação Nacional, 1941, pág. 53) apresenta-a como forma portuguesa, ao lado de "Kamtchatka" e "Camchatca", classificadas como formas estrangeiras ou mal aportuguesadas. De qualquer modo, trata-se de um aportuguesamento que ainda não se fixou.
Catânia (Sicília, Itália): VLP; não consta do VOLP PE.
Kuala Lumpur (capital da Malásia): não consta nem do VLP nem do TOLP, mas é assim registado no VOLP PE.
Estetino (Polónia): a forma portuguesa baseia-se na forma alemã (Stettin) e não na polaca (Szczecin) —«top[ónimo]. equiv[alente] vern[áculo] do al[emão] Stettin» (VLP); não consta do VOLP PE, nem parece ter hoje uso.
Goteburgo (Suécia): «Equiv. vern. do sueco Göteborg» (VLP); não consta do VOLP PE. No entanto, na Infopédia (Porto Editora), encontro a forma Gotemburgo, que deve ser adaptação de formas assinaladas por nasalidade: Gothenburg, em inglês, alemão, neerlandês, e Gothembourg, em francês. Parecem-me legítimas ambas as formas, Goteburgo, aportuguesamento do sueco Göteborg, e Gotemburgo, aportuguesamento baseado numa forma tradicional europeia mas não sueca.
Hainaut (Bélgica): sem aportuguesamento nas fontes consultadas.
Hessen (Alemanha): sem aportuguesamento nas fontes consultadas; Hessen é a forma alemã, enquanto Hesse é forma que ocorre em espanhol, francês e inglês tal como em português; existe uma variante, Hessia, que pode ser aportuguesada como Héssia. De qualquer modo, o aportuguesamento deste nome ainda não se fixou.
Iacútia (Federação Russa): sem registo no VLP, que, no entanto, acolhe Iacuto; o VOLP PE acolhe as entradas Iacútia e Iacuto.
Lemberga, Lviv, L´vov ou Leópolis (Ucrânia): topónimo sem aportuguesamento moderno; o VLP, publicado em 1966, regist{#|r}a Lemberga, aportuguesamento de Lemberg, nome alemão da cidade até à 1.ª Guerra Mundial; parece que a tendência hoje é usar a forma ucraniana, em lugar da alemã ou da russa (Львов, transliterada como L´vov). O VOLP PE acolhe a entrada Leópolis, que é nome latino da cidade (cf. artigo em inglês na Wikipedia). Trata-se de nome cujo aportuguesamento ainda não se fixou.
Mecom (rio asiático): VLP; não consta do VOLP PE.
Middelburg (Holanda): atendendo à configuração do nome, "Midelburgo" é aportuguesamento possível, mas não sancionado pelas fontes consultadas, que não acolhem nem nome neerlandês, nem aportuguesamento;
Mogadíscio ou Mogadixo (capital da Somália): formas que ocorrem só no VOLP PE.
Osaca ou Ósaca (cidade do Japão): não constam das fontes consultadas, mas Osaca é o aportuguesamento registado na Grande Enciclopédia Portuguesa e Brasileira e na Enciclopédia Luso-Brasilera de Cultura Verbo; Ósaca aparece no Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa de 1940 (ver resposta n.º 21 389).
Pittsburg (Pensilvânia, Estados Unidos): "Pittsburgo" ou "Pitesburgo" não constam das fontes consultadas; usa-se a forma inglesa.
Sorrento (Itália): assim registado no VLP e no VOLP PE.
Talinn (capital da Estónia): "Taline" não consta das fontes consultadas; no VOLP PE, acolhe-se Talim e Talin, mas sem indicação de que se trata realmente do aportuguesamento do nome da capital da Estónia; no Código de Redacção Interinstitucional do portal Europa (União Europeia) consigna-se a forma estrangeira.
Toscana (Itália): assim registado no VLP e no VOLP PE. Toscana, top. f.: região da Itália»
Jaén ou Xaém (Espanha): Xaém é «o equivalente vernáculo de Jaén», no VLP; o nome da cidade andaluza não consta do VOLP PE.
Auckland (Nova Zelândia): sem aportuguesamento nas fontes consultadas.
Achgabad (Turcomenistão): assim registado no VOLP PE; "Ascabade" ou "Asgabate" não constam das as fontes consultadas.
Béarn (França): não tem aportuguesamento nas fontes consultadas; na Grande Enciclopédia Portuguesa e Brasileira ocorre como Bearn, sem acento, mas a Enciclopédia Luso-Brasileira de Cultura Verbo acolhe a forma francesa.
Belfaste ou Belfast (Irlanda do Norte): as duas formas não constam do VLP, mas estão registadas no VOLP PE.
Berga (Noruega): assim registado no VLP como equivalente vernáculo do norueguês Bergen.
Bisqueque (Quirguizistão): assim registado no VOLP PE.
Obs.: O Código de Redacção Interinstitucional do portal Europa (União Europia) apresenta a forma "Bichkek", que me parece uma adaptação discutível de Bishkek, uma das transliterações internacionais de Бишкек (em russo e em quirguiz; cf. artigo em inglês da Wikipedia). É que, se se usa <ch> no aportuguesamento, então também deveria usar-se <qu> como transliteração de k, o que resultaria na forma "bichqueque", não atestada.
Brisbane (Austrália): sem aportuguesamento no VLP nem no VOLP PE.
Nuaquechote (Mauritânia): assim registado no VOLP PE.
Chisinau ou Quichinau (Moldávia): ambas as formas estão registadas no VOLP PE; "Quixineve" ou "Quichineve" não constam como aportuguesamentos nas fontes consultadas.
Pionguiangue (Coreia do Norte): assim registado no VOLP PE.
Windhoek ou Vinduque (Namíbia): ambas as formas estão registadas no VOLP PE.
1 Corónimo: «nome designativo de continente, país, região, pátria, estado, província, divisão administrativa qualquer (abrangido pela toponímia ou geonímia)» (Dicionário Houaiss).