As duas expressões estão corretas, mas podem ter significados ligeiramente diferentes:

(1) virar as costas: «não ver de frente, voltar-se para o outro lado»

(2) virar costas: «retirar-se, fugir»

Em (2), a ausência do artigo definido dá um sentido mais abstrato (ou menos literal) à associação verbo-nome do que em (1).

No entanto, há registos dicionarísticos das duas expressões muito pouco contrastados, como acontece no Dicionário Estrutural, Estilístico e Sintático da Língua Portuguesa de Énio Ramalho:

(3) «Virar as costas a: o P. ontem virou-me as costas quando me dirigia a ele (virou-se para outro lado para evitar o cumprimento); ele virou as costas ao amigo quando já não precisava dele (afastou-se, abandonou-o).»

(4) «Virar costas: com uma força tão impetuosa que a não puderam sofrer os holandeses, nem se atreveram a sustentar o campo, e logo viraram costas (retiraram-se, abandonaram a luta, fugiram) - Vieira, Cartas, Cl. Sá da Costa, I, 29.»

Nota-se que a segunda abonação de (3) pouco difere da contida em (4), pelo que se conclui que «virar as costas», com artigo definido, também se presta a leituras mais abstratas ou mais metafóricas.