Ambas as construções apresentadas estão corretas, embora tenham significados diferentes.

Na frase

(1) «Professora é demitida por pedir que Trump retire 'alunos ilegais' de escola.»

o verbo pedir é completado por uma oração subordinada substantiva completiva («que Trump retire 'alunos ilegais' de escola»), pelo que a frase é equivalente a

(2) «Professora é demitida por pedir isto.»

Na frase (1), o constituinte «Trump» é sujeito de «retire» e não se identifica a pessoa/entidade a quem a professora endereçou o seu pedido.

Na frase

(3) «Professora é demitida por pedir a Trump que retire 'alunos ilegais' de escola.»

o verbo pedir tem dois complementos: uma oração subordinada substantiva completiva («que retire 'alunos ilegais' de escola»), que tem a função de complemento direto, e um constituinte com a função de complemento indireto, «a Trump». Esta frase é equivalente a:

(4) «Professora é demitida por lhe pedir isto.»

Na frase (3), o sujeito de «retire» está omisso, mas por um processo de correferência, identifica-se «Trump» como o sujeito da frase e, portanto, como aquele que deverá «retirar ‘alunos ilegais' da escola».

Em nome do Ciberdúvidas, agradeço as gentis palavras.