As ligações abaixo, que tratam da questão do uso de «fui... quem»/«fui... que», respondem à questão colocada:

O uso dos pronomes quem e que.

O uso de quem e de que.

 No entanto, esta questão é oportuna para fazer uma breve observação quanto ao contexto de utilização do verbo solicitar, uma vez que, a nosso ver, nos exemplos apresentados, a utilização do verbo sinónimo pedir teria sido mais adequada.

a) «Fui eu quem pediu a água.»

b) «Fui eu que pedi a água.»

De facto, em algumas situações comunicativas privilegiadas pela oralidade e espontaneidade (muitas vezes caracterizadas também por alguma informalidade), o verbo pedir parece ser aquele que mais se utiliza, enquanto o uso do verbo solicitar se verifica preferencialmente em situações formais, referindo-se quase sempre a uma diligência mais cuidada:

c) «Fui em quem solicitou a audiência.»

d) «Fui eu que solicitei a audiência.

Cf. Qual é a origem da palavra «água»? + Viagem pelos nomes da água