O adjetivo orgulhoso integra um constituinte com a função de sujeito, como se observa pela possibilidade de pronominalização pelo pronome ele:

(1) «O homem, orgulhoso, se considera feliz.»

(2) «Ele se considera feliz.»

No interior do constituinte «O homem, orgulhoso», o adjetivo orgulhoso estabelece uma relação sintático-semântica com o nome homem, desempenhando a função sintática de aposto (modificador do nome apositivo). Note-se que o aposto é tradicionalmente exemplificado por meio de estruturas nominais, mas esta função sintática pode também ser desempenhada por um adjetivo, como se explica nesta resposta. 

O adjetivo feliz, por seu turno, integra o constituinte «se considera feliz», que tem a função de predicado. No interior deste constituinte, está presente o verbo considerar, que é um verbo transitivo-predicativo, o que implica que se constrói com dois argumentos: um complemento direto e um predicativo do complemento direto. Assim sendo, o adjetivo feliz desempenha, neste caso, a função de predicativo do complemento direto.

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Nota (04/11/2023) – Se enquadrarmos a nossa análise numa perspetiva mais tradicional como a que está presente na Nova Gramática do Português Contemporâneo, de Cunha e Cintra, teremos de considerar que «orgulhoso», por ter uma natureza adjetival, não poderá ser associado à função de aposto, uma vez que esta função sintática é desempenhada por substantivos que deverão designar a mesma entidade. De acordo com a perspetiva defendida pelos autores, um adjetivo «não pode exercer a função de aposto, porque ele designa uma característica do ser ou da coisa, e não o próprio ser ou a própria coisa». De acordo com esta linha de pensamento, o constituinte «orgulhoso» deverá, então, ser interpretado como um predicativo de um predicado verbo-nominal. (cf. Cunha e Cintra, Nova Gramática do Português Contemporâneo. Lexikon, 2017, 173-175).