A forma indiscutivelmente correta é «quanto antes», locução que encontra registo em dicionários portugueses e brasileiros1. Quanto a «o quanto antes», trata-se de variante discutível, mas aceitável.
A referida variante «o quanto antes» não parece ter origem no chamado dialeto lisboeta. Com efeito, ela já ocorre em meados do século XIX, pelo menos, em textos de escritores brasileiros, como se pode confirmar pelo Corpus do Português de Mark Davies:
(1) «FELÍCIO – É preciso que te resolvas o quanto antes.» (Martins Pena, O Inglês Maquinista, c. 1840)
(2) «AMÁLIA - Devo partir, meu pai, e o quanto antes. Não posso ficar nesta casa e se me obrigarem a isso, morrerei.» (Araújo Porto-Alegre, Os Lobisomens, 1862)
O gramático brasileiro Napoleão Mendes de Almeida considera «o quanto antes» locução incorreta (cf. Dicionário de Questões Vernáculas). Contudo, o Dicionário UNESP do Português Contemporâneo (elaborado no Brasil, onde foi publicado em 2004), ao registar quanto, atesta a locução «quanto antes» com ocorrências das duas formas – com e sem artigo definido.
Note-se que, das citações acima apresentadas, não é seguro inferir a atribuição de «o quanto antes» ao português do Brasil, porque são atestações de um período em que a língua literária ainda não mostraria variação assinalável em função do uso brasileiro e do uso de Portugal. Mesmo assim, é provável que «quanto antes» seja anterior a «o quanto antes», cujo artigo definido pode ter sido, entretanto, acrescentado por analogia com «o mais depressa possível» ou «o mais cedo possível».
Em conclusão, não se pode dizer que «o quanto antes», com inclusão do artigo definido, constitua um erro claro ou que seja inovação lisboeta.
1 Cf. Dicionário Priberam, Dicionário Infopédia, Michaelis Dicionário Brasileiro da Língua Portuguesa e Aulete Digital.