Primeiro, importa referir que não estamos perante um caso de regência.

Trata-se, sim, de uma oração introduzida pelo pronome que que corresponde ao sujeito oracional. Note-se que esta frase não se encontra na ordem canónica, i.e., a estrutura sintática introduzida por que corresponde ao sujeito da frase que se encontra depois do predicado. Por forma a que a análise seja mais compreensível, altere-se um pouco a ordem da frase:

1. «Que tenhas lido o texto é imprescindível».

É ainda possível substituir esta oração por isso:

2. «Isso é imprescindível».

Quanto à supressão da conjunção que, não é esta possível na frase em questão. Com efeito, a supressão da conjunção integrante que só se verifica quando a oração subordinada substantiva completiva funciona como objeto direto de um verbo1:

3. «Pede a Deus nunca te faça a ti sofrer o que eu sofri...» (Aluísio Azevedo, Memórias de um Condenado, 1882, in Corpus do Português).

O uso que figura em 3 é formal e literário (ver Textos Relacionados), correspondendo hoje geralmente à construção convencional, com a inclusão de que: «pede a Deus que nunca te faça sofrer a ti o que eu sofri....»

¹ Sobre a supressão do que integrante, observa-se na Gramática do Português (Fundação Calouste Gulbenkian, 2013-2020, pp. 1668/1869): «A supressão do complementador que é possível quando a oração completiva está no modo conjuntivo [subjuntivo] e verifica-se quase exclusivamente na escrita, em registos formais. O seguinte exemplo é ilustrativo desse fenómeno(assinala-se a posição em que normalmente apareceria o complementador attravés da sua rasura (i.e., que): "[...] Foi então que o rei dos godos ordenou à sua ala direita que descesse contra os berberes e... que acometesse os esquadrões de Tárique (A. Herculano, Eurico [...]." Neste exemplo o complementador é omitido duas vezes. Em geral, esta supressão dá-se quando seriam usadas, num mesmo período, várias formas que, ou então em fórmulas feitas do discurso jurídico-administrativo, como no exemplo seguinte: "[...] Requeiro que seja enviado o Processo a outra instância [...]."» Refira-se que, na fonte consultada, o termo complementador significa o mesmo que conjunção subordinativa integrante  (ou completiva).

N. E. – Resposta alterada em 16/10/2023.