A forma correta será «doem-lhe as costas». Note-se que apesar de costas ser uma parte do corpo singular, ou seja, cada pessoa só tem uma parte posterior do tronco, a verdade é que o nome que se dá a esta zona do corpo humano está no plural. Assim sendo, os verbos que se associam à denominação desta zona devem concordar em número com a mesma, no caso, plural. Veja-se outros exemplos: calças e óculos. Estes objetos, quer estejamos a falar de um só par ou de vários, grafam-se sempre com a marca do plural, e por isso mesmo, o verbo que se lhe associa está sempre no plural: «as calças rasgaram-se» ou «os óculos partiram-se».