Não é correcto. O correcto é dizermos: Estou com dores nas costas. E compreende-se que assim seja. Ora vejamos:
   O substantivo costa provém do latim costa(m), que significa costela. Daqui se compreende que, na anatomia antiga, tivéssemos a palavra costa com o mesmo significado que tem hoje a palavra costela, que é o diminutivo de costa. Este diminutivo veio, pois, substituir a antiga costa, mas não em todos os casos. Por isso, dizemos que nos doem as costas, quando nos referimos às costelas (plural) ou à região onde elas se encontram, como seja qualquer dor muscular.
   Por tudo isto, dizemos assim:
   a) O João leva a casa às costas - isto é, apoiada nas costas (costelas).
   Tal como dizemos:
   b) A Maria leva o saco à cabeça - isto é, apoiado na cabeça.
   A dúvida do nosso consulente é natural que se deva ao seguinte: por analogia com o peito (singular), é-se levado a pensar que o correcto seria a costa e não as costas.