Na frase em questão, a palavra até integra a locução prepositiva «até a».

Neste caso, «até a» é utilizado na frase com o valor de marcação de um limite, como fica explicitado em (1) onde se expressam os limites superiores e inferiores:

(1) «Leu o livro desde a primeira linha até à última linha.»

A locução prepositiva «até a» assinala o limite superior (ficando o inferior implícito) (cf. Raposo et al., Gramática do Português. Fundação Calouste Gulbenkian, pp. 1555-1556). Refira-se que, na frase, a forma à corresponde à contração da preposição a com o artigo definido a, que determina o nome linha. 

Até poderia ser considerado um advérbio com valor de inclusão (de acordo com a classificação proposta pelo Dicionário Terminológico, documento que regula a terminologia gramatical a usar no ensino obrigatório em Portugal) numa situação em que marque «a pertença de entidades a conjuntos […] adicion[e] as entidades mencionadas a outras, implícitas, que se pressupõe também estarem incluídas no conjunto.» (id., ibid p. 1671). Estaríamos em presença de um advérbio se a frase tivesse uma estrutura como (2):

 (2) «Leu até a última linha do livro.»

Neste caso, o advérbio até adicionaria a «última linha» ao conjunto não mencionado da totalidade de linhas que compõem o livro e que foram todas lidas pelo sujeito da frase, ou seja, a «última linha» faz parte (é incluída) do conjunto de linhas lidas. Note-se que, neste caso, o advérbio até não é seguido de uma preposição porque a palavra a presente na frase é um artigo definido que determina livro.