Ambas as conjunções são possíveis. A sua seleção fica dependente da intenção do texto.

A conjunção coordenativa copulativa nem traduz um valor de adição de entidades, propriedades, atividades que são negadas:

(1) «Ele não faz desporto nem respeita uma alimentação saudável.»

Neste caso, a conjunção nem expressa a adição de atividades negadas, ou seja, que o sujeito não realiza.

A conjunção coordenativa disjuntiva ou introduz um valor de exclusão, de opção entre alternativas:

(2) «Fico em casa ou vou ao cinema.»

Na frase apresentada pela consulente, é possível introduzir quer a conjunção nem quer a conjunção ou, com consequências a nível do sentido. Se selecionarmos a conjunção ou, estaremos a apresentar uma listagem de três elementos distintivos  e a afirmar que a ação de “não distinguir” pode incidir sobre apenas um deles, separada e isoladamente:

(3) «[…] sem distinção de parentesco, de fama ou de posição social.»

Se utilizarmos a conjunção nem, estamos a afirmar que a “não distinção” considera cumulativamente os três elementos: “parentesco”, “fama” e “posição social”:

(3a) «[…] sem distinção de parentesco, de fama nem de posição social.» 

Disponha sempre!