O verbo assilhar está registado em dicionários (de Portugal e do Brasil) como «verbo transitivo [com origem] provavelmente do Alentejo» e que significa «colocar, assentar, arrumar» ( Dicionário da Língua Portuguesa Contemporânea de Cândido Figueiredo).

Com o mesmo significado, encontramos o verbo em Dicionário de Falares do Alentejo (Vítor Fernando Barros e Lourivaldo Martins Guerreiro, Âncora Editora, 2013), grafado assilhar, enquanto, em A Linguagem Popular do Baixo Alentejo (Manuel Joaquim Delgado, Beja, 1951), figura com a grafia acilhar. Já a revista Lusitana vol. XXV (1923/1925), atesta também acilhar, mas com o significado de «ficar bem, entrar bem, permanecer (Odemira)». 

Relativamente à ortografia do verbo, não se consegue chegar a um consenso: se, por um lado, se considerar que assilhar tem origem em silha («mesmo que cadeira; local certo ou próprio de determinada coisa; paradeiro, estância» – cf. dicionário Houaiss), então seria correto grafarmos o verbo com ss. Por outro lado, se se considerar que a sua origem está em cilha (cinta larga, de couro ou de tecido reforçado, que cinge a barriga das cavalgaduras para apertar a sela ou a carga – cf. ibidem), então a grafia com c seria a acertada.

Observando os dois significados, que são próximos, cabe sublinhar que este verbo tem, realmente, uso mais generalizado no Alentejo, e é corrente o uso de assilhar/acilhar com o significado dado por Cândido Figueiredo, Vítor Fernando Barros e Lourivaldo Martins Guerreiro, bem como de Manuel Joaquim Delgado:

1. «Assilha/acilha o pote nesse armário» = «Guarda/coloca/arruma o pote nesse armário».

Provavelmente como extensão semântica da aceção dada pela Revista Lusitana, é possível recolher assilhar/acilhar com, no sentido de «não conseguir entender/dar uso»:

2. «A Joana não assilha/acilha com o Excel» = «O funcionamento do Excel não entra na cabeça da Joana» = «A Joana não consegue aprender como funciona o Excel» = «A Joana não atina com o Excel».