As duas frases estão corretas: 

(1) «Obrigada sou eu que lhe fico»;

(2) «Obrigada sou eu quem lhe fica».

Em (1) o pronome relativo que refere-se ao antecedente eu e desencadeia concordância na 1.ª pessoa – fico.

Em (2), quem desencadeia a concordância na 3.ª pessoa do singular – fica.

Uma última nota, não inteiramente relacionada com a dúvida da consulente, mas relacionada com a construção com o adjetivo obrigado, que pode causar alguma estranheza. No Dicionário Houaiss relativamente ao verbete obrigado diz-se: «que se sente devedor de um favor, de uma amabilidade; agradecido, grato (empregado também interjetivamente)» e dá como exemplo: «ficamos-lhe obrigados por tantas gentilezas». Quer com isto dizer-se que, apesar de ser uma construção menos recorrente, obrigada em «Obrigada sou eu que lhe fico»,  é sinónimo de agradecida: «Agradecida sou eu que lhe fico» ou «sou eu que lhe fico agradecida».