As duas formas estão corretas – cf. Repetição da preposição contraída com o artigo.

No primeiro caso, não se repete a preposição porque se considera que a sequência «solidariedade, emprego e segurança social» forma um todo conceptual, no qual os conceitos associados às palavras solidariedade, emprego e segurança social não podem ser separados numa perspetiva política. No entanto, também seria possível repetir a preposição e apresentar o artigo definido:  «Ministério da Solidariedade, do Emprego e da Segurança Social».

O segundo caso está correto, mas parece ter alguma dificuldade em admitir o apagamento da contração em «do Mar» (?«Ministério da Agricultura e Mar»), visto que não costuma haver relação direta entre os conceitos associados a agricultura e mar. Contudo, existe a tradição nas denominações ministeriais e no discursos administrativo e académico de usar a expressão «sector da agricultura e pescas», eventualmente a par de «sector da agricultura e das pescas». Tudo isto sugere que, embora no caso de «Ministério da Agricultura e do Mar» houvesse margem normativa para aceitar de «Ministério da Agricultura e Mar», terá sido talvez a falta de tradição desta associação que levou a retomar a preposição e a empregar o artigo definido antes de cada substantivo coordenado.