A construção «cair no esquecimento» é idiomática.
O verbo cair pode ser usado como
(i) verbo intransitivo, não pedindo, portanto, nenhum complemento:
(1) «Durante a guerra, muitos soldados caíram.»
(ii) verbo transitivo indireto, uso em que pede um complemento oblíquo:
(2) «Ele caiu na estrada.»
(3) «Ele caiu sobre o inimigo.»
Não obstante, no caso em análise, «cair no esquecimento» é uma construção idiomática (ver também esta resposta), que tem o valor de «apagar-se da memória»1, e é usada como estrutura fixa, pelo que não há lugar a análise dos seus elementos constitutivos.
Disponha sempre!
1. Dicionário da Língua Portuguesa, da Academia das Ciências de Lisboa.
