Já é, na frase em análise, um advérbio.
Antes de mais, note-se que já poderia ser retirado da frase:
(1) «Ontem esteve sol, hoje choveu todo o dia!»
A omissão de já não anula o contraste entre as duas orações, mas vez que este reside no conteúdo de cada uma delas. Deste modo, já não é uma conjunção (veja-se também esta resposta).
A função de já não é a de estabelecer uma relação de coordenação entre as duas orações assinalado o valor de nexo. Tal como explicam Matos e Raposo, a sua função é antes a de marcar o contraste entre «uma entidade A com outra entidade B relativamente à maneira como o falante encara a participação da entidade A numa determinada situação, em comparação com B»1.
O funcionamento de já é, deste modo, similar aos dos advérbios focalizadores (designados advérbios de inclusão ou exclusão, no quadro do Dicionário Terminológico).
Agradecemos a gentis palavras.
Disponha sempre!
1. Matos e Raposo in Raposo et al., Gramática do Português. Fundação Calouste Gulbenkian, p. 1653.