Apesar de muitos dos jornais brasileiros utilizarem o termo em inglês, existe uma tradução consagrada no Dicionário Webster-Houaiss: impugnação.

Trata-se de um termo que vem do latim "impugnatore", que significa ataque ou assalto. 

N.E. (27/09/2019) – O anglicismo impeachment, que os dicionários de língua portuguesa registam (cf. Infopédia, Priberam, Dicionário Houaiss), pode ser substituído por impugnação, como é dito na resposta, mas também por processo de destituição – ou simplesmente destituição (ver ponto 4 da Abertura de 27/09/2019) – e outras palavras, como sugere o Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa (edição brasileira de 2001): «geralmente sem tradução no português (em especial, do Brasil), na verdade, segundo seus matizes semânticos, corresponde a: desacreditamento, descredenciamento, despojamento, apeamento etc., e na acepção jurídica impedimento, destituição.» O sítio eletrónico de tradução Linguee, consultado em 27/09/2019, indica como equivalentes a impeachment, os termos destituição e impedimento legal (ou só impedimento).

N.E. (1/10/2019) – O tradutor e professor universitário português Marco Neves, num parecer registado no canal Cinco Palavras (lançado em 30/09/219), mostra com bons argumentos que «[...] o impeachment não é a destituição, é a impugnação, um passo necessário mas não suficiente para que um presidente dos Estados Unidos seja destituído» (Episódio 1, Como traduzir a palavra "impeachment"?, 04:41; consultado em 1/10/2019). Impugnação afigura-se, portanto, a palavra mais adequada quando se traduz o termo inglês ou se procura evitar o seu uso em português.