Na língua padrão, a forma correta é «fico em casa», no sentido de «não saio». Se se disser «fico na casa», espera-se que se complete a expressão com o nome de alguém ou uma especificação: «fico na casa da Rita», «fico na casa de campo», «fico na casa que fica ao lado da minha».

Note-se que, o verbo ficar, neste contexto, tem um sentido locativo. Assim, localiza o sujeito num lugar, introduzindo uma ideia de permanência mais prolongada nesse lugar, sendo, por isso, sinónimo de permanecer (cf. Gramática do Português, Fundação Calouste Gulbenkian, 2013, pág. 1332)

a. «O João vai para Paris e fica em casa do primo.» (ibidem, pág. 1333)

b. «Hoje fico em casa, não vou sair com vocês.» (ibidem, 2013, pág. 1333)

A preposição em representa uma localização espacial estática. No caso da frase apresentada, não existe contração com o determinante artigo definido, configurando um uso em que o grupo preposicional «em casa» funciona praticamente como uma locução, como se pode concluir da sua inclusão em expressões dicionarizadas como «sentir-se em casa» (cf. dicionário da Academia das Ciências de Lisboa e Énio Ramalho, Dicionário Estrutural, Estilístico e Sintático da Língua Portuguesa).