Ambas as expressões — «em casa do Pedro» e «na casa do Pedro» — estão correctas. A contracção entre em e a pode dar-se, ou não, dependendo da intenção da pessoa que fala: «na casa do Pedro» é uma referência mais específica, que realça o facto de ser essa casa e não outra qualquer. «Em casa do Pedro», sem a preposição a, é uma opção igualmente válida, porventura considerada mais formal, ou seja, preferida em linguagem mais cuidada.

Recomendo, a este propósito, a leitura da resposta anterior Na/em casa.