Por enquanto, qualquer uma das formas em questão está correta¹. Mas a pergunta tem duas vertentes:

1- A palavra é grave ou esdrúxula?

Como o consulente bem aponta, já em 1940, o Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa registava apenas assimptota como forma correta; e, em 1966, no Vocabulário da Língua Portuguesa, Rebelo Gonçalves chega a indicar que considera inexata a forma assímptota.

No entanto, em 2001 , o Dicionário da Língua Portuguesa Contemporânea, da Academia das Ciências de Lisboa, registava a forma esdrúxula (proparoxítona) assímptota, ao lado de assíntota, também esdrúxula. Sublinhe-se que este dicionário já registava uma forma com p e outra sem esta letra, quando o Acordo Ortográfico de 1990 (AO 90) ainda não estava em vigor, e, portanto, ainda não tinham sido feitas as alterações decorrentes da supressão na escrita das chamadas "consoantes mudas". Registe-se ainda que, no Brasil, são corretas as duas variantes da palavra, a grave (paroxítona) e a esdrúxula, como pode confirmar a consulta do Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa da Academia Brasileira de Letras.

Sintetizando este ponto da resposta: até à aplicação do AO 90, assimptota era a forma considerada correta, muito embora a forma esdrúxula – assímptota ou assíntota – já fosse corrente e até já tivesse registo dicionarístico. Esta variação entre forma esdrúxula e forma grave é, portanto, anterior ao AO 90, o qual, de resto, não a modificou.

2- A palavra pronuncia-se e escreve-se com ou sem "p"?

Como foi dito, em 1966, o vocabulário ortográfico de Rebelo Gonçalves já indicava que, em assimptota, a letra p podia não ter realização na pronúncia, o que explicará que, 35 anos mais tarde, o dicionário da Academia das Ciências de Lisboa apresentasse assíntota como grafia alternativa de assímptota. Com a aplicação do AO 90, parece ter-se considerado inicialmente que na pronúncia mais corrente em Portugal não soaria o som bilabial surdo correspondente à letra p, pelo que assimptota/assímptota passaria a assintota/assíntota. No entanto, ter-se-á verificado igualmente que muitos falantes pronunciavam este termo com [p], assim legitimando a conservação da letra p na escrita.

A situação presente é a de, por exemplo, o vocabulário da Porto Editora (disponível na Infopédia) registar todas as quatro variantes; outras fontes, como é o caso do Dicionário Priberam da Língua Portuguesa, só registam as formas sem p escrito.

Em suma, atualmente e por enquanto, é possível empregar qualquer uma das quatro formas que este termo tem tanto na pronúncia (acentuação e articulação de [p]) como na escrita. Sendo assim, quem optar pela forma esdrúxula não incorre em erro.

¹ Obs. – Há alguma imprecisão em algumas referências da pergunta. Assim, o vocabulário «de 1945» deve ser o Vocabulário Ortográfico Resumido da Língua Portuguesa de 1947, da Academia das Ciências de Lisboa, o qual foi elaborado de acordo com as Instruções para a organização
do «Vocabulário Ortográfico Resumido da Língua Portuguesa», que foram aprovadas pela Conferência de 1945. Quanto ao vocabulário «de 2010» da Porto Editora, deve ser este o vocabulário ortográfico  impresso e publicado em 2009, que em 2010 passou a estar disponível em versão eletrónica. Note-se que na referida edição em papel do vocabulário ortográfico da Porto Editora se registam as formas grave e esdrúxula grafadas com a letra p: assimptota e assímptota.