O constituinte «pelas ruas» desempenha a função sintática de complemento oblíquo.

O verbo pronominal com o sentido de «lançar-se em todas as direções» (cf. Dicionário Houaiss) pede um complemento com informações de lugar introduzido pela preposição por (cf. Busse, Dicionário sintáctico dos verbos portugueses. Almedina, pp. 215-216), papel que, na frase em análise, é cumprido pelo constituinte «pelas ruas» com a função de complemento oblíquo, como se disse.

Note-se ainda que num uso familiar com o sentido de «cair», o verbo já não pede este complemento:

(1) «Ia a andar de bicicleta e espalhou-se.»

Sem pronome, o verbo usa-se sobretudo como transitivo direto, pedindo, portanto, um complemento direto:

(2) «Ele espalhou a notícia.»

Em nome do Ciberdúvidas, agradeço as suas palavras finais que muito nos estimulam.