Há de facto relação morfológica e etimológica entre os diferentes verbos mencionados na pergunta. Com efeito, embora não haja certeza, não é impossível que se devam a uma tradição que tornou a sequência espa(rr)- um elemento expressivo.

Assim:

– Esparrar parece derivar de parra e ter adquirido o significado de «espalhar», tal como as parras, nos países onde elas existem, se alargam e crescem, permitindo serem aproveitadas para criar sombra.

– Esparramar parece ser uma amálgama de espalhar e derramar.

– Espalhar virá de palha, em alusão à palha que se dispersava no chão para fazer a cama dos animais.

– Esparralhar será o resultado de esparrar e espalhar.

Todos estes verbos serão criações aparecidas depois do latim, já em contexto dialectal galego-português.

Fontes consultadas: Dicionário Houaiss, dicionário da Academia das Ciências de Lisboa e Cândido de Figueiredo, Novo Dicionário da Língua Portuguesa.