O excerto apresentado integra a seguinte frase: «Aos trinta e quatro anos regressou ao Brasil, não podendo el-rei alcançar dele que ficasse em Coimbra, regendo a universidade, ou em Lisboa, expedindo os negócios da monarquia.» (Machado de Assis, O Alienista)
Nesta frase, o verbo alcançar está a ser usado como verbo transitivo direto e indireto com o sentido de «ter êxito nos esforços envidados para a conquista de (objeto ou objetivo)» (Dicionário Houaiss).
Assim, o narrador pretende afirmar que o rei envidou esforços para que ele [o médico] ficasse em Coimbra ou em Lisboa. Contudo, não foi bem-sucedido.
O recurso ao modo conjuntivo na forma ficasse está relacionado com a expressão de uma situação não factual, mas hipotética.
Disponha sempre!