A função sintáctica do pronome relativo é a do elemento por ele substituído na oração, ou seja, sujeito, uma vez que o relativo substitui o sujeito do verbo ser em «nunca fui de bichos».

O constituinte «de bichos» faz parte da expressão cristalizada «ser de», significando «gostar de» ou «ter afinidade com». Trata-se de um fenómeno ainda em estudo tanto por brasileiros como portugueses. Faz parte das predicações com verbo-suporte, onde verbo e nome ou expressão nominal compõem um único significado. Como acredito que a consulta tem objectivos mais imediatos e menos investigativos, deixo de lado essas considerações e sugiro que classifique a referida expressão como predicativo do sujeito, pois a expressão atribui uma característica ao sujeito do verbo. Poder-se-ia desdobrar a frase em: «Eu não sou uma pessoa que goste de bichos», onde a parte em itálico tem, igualmente, função de predicativo do sujeito.

Para maiores esclarecimentos, sugiro a consulta de:

2000, Baptista, Jorge. Sintaxe dos nomes predicativos construídos com o verbo-suporte SER DE. (Tese de Doutoramento/PhD Thesis). Faro: Universidade do Algarve (publicada conjuntamente pela Fundação para a Ciência e a Tecnologia e pela Fundação Calouste Gulbenkian, 2005).