A construção parece ser uma transposição do inglês: «he tested positive for steroids during the race» (= «ele teve resultado positivo no exame/análise (feito/feita) aos esteroides durante a corrida» – cf. Lexico.com). Este verbo é geralmente transitivo em inglês, mas também pode ele ocorrer como intransitivo com um "complemento" (conforme a classificação da fonte consulta; cf. idem, ibidem): «[no object, with complement] Produce a specified result in a medical test, especially a drugs test or AIDS test» (tradução livre: «[sem objeto, com complemento] Apresentar um dado resultado num exame médico, em especial, na deteção de consumo de drogas ou num exame à sida.»)
Trata-se de uma construção típica da língua inglesa e, à partida, não teria adaptação ao português. Contudo, a verdade é que, talvez, pela sua capacidade de síntese, este uso de testar, que é discutível, tem-se popularizado em português, tanto no Brasil como noutros países de língua portuguesa, incluindo Portugal.
Em português, não parece claro o processamento desta construção, o que talvez seja razão para, numa análise sintática e semântica, se aceitar que o verbo testar é tratado como o verbo abrir, que, além de transitivo («ele abriu a porta»), também pode ocorrer intransitivamente («a porta abriu/abriu-se»)1; além disso, positivo é interpretável adverbialmente, como «positivamente» (não se trata, portanto, de um complemento), ainda que o uso adverbial de adjetivos seja condenado por vários autores prescritivistas.
Note-se que, em português, entre as construções compatíveis com a ideia de «fazer um exame médico cujo resultado se revela positivo/negativo», se contam «alguém ter resultado positivo no exame ao coronavírus» (ou no Brasil «para o coronavírus», ou «o exame a [nome da doença] de X [pessoa sujeita ao exame] deu/teve resultado positivo» (neste caso pode omitir-se a palavra "resultado")2. Para elas irá com certeza a preferência dos falantes mais ciosos da doutrina normativa dos século XIX e XX.
1 Outra consulente – Conceição de Maria Vasconcelos Lima (Fortaleza, Brasil) – também escreveu sobre esta construção: «[Devido ao] estranhamento que causa, tenho lido nas manchetes de publicações as mais diversas a expressão "testar positivo", empregada para indicar que alguém fez um exame para diagnosticar o coronavírus e o resultado foi positivo. Sinto que estou diante de mais uma construção "inventada" e propagada pelos jornalistas com tanta propriedade e intensidade que já caiu no gosto do povo, como "O aluno reprovou por faltas" e "Ele emprestou o livro da biblioteca, em substituição, respectivamente, a "O aluno foi reprovado por faltas" e "Ele tomou o livro emprestado da biblioteca"».
2 Em espanhol, é correta a construção com o verbo dar, cognato do português dar: , conforme se pode confirmar por um parecer da Fundéu BBVA de 16/03/2020:, no qual se aceita a seguinte frase: ««El jefe de prensa de Bolsonaro da positivo en coronavirus tras cenar con Trump en Miami» (tradução livre: «o responsável de imprensa de Bolsonaro teve resultado positivo num exame ao coronavírus depois de jantar com Trump em Miami.»). Esta construção não é desconhecida em português como confirma o seguinte título de notícia: «Príncipe Carlos deu positivo para o Covid-19» (Lux, 25/03/2020). Observe-se porém que os mais exigentes com a coerência lógica e referencial da linguagem podem considerar que a forma correta do título citado será «exame do Príncipe Carlos ao coronavírus deu positivo» ou «exame de coronavírus deu positivo ao Príncipe Carlos».
Cf. Testar. ... positivo/negativo
N. E. (15/04/2020) – A construção «testar positivo/negativo» é um decalque de construções do inglês, conforme a análise que o linguista Marcos Bagno desenvolve em "Ela testou positivo" (Blog da Parábola Editorial, 30/03/2020).