Mesmo é um advérbio de quantidade e grau no exemplo em apreço.

Em «tu cantas mesmo bem», mesmo ocorre como modificador do adjetivo bem, contribuindo com informação sobre o grau1. Note-se que, neste caso, mesmo é sinónimo de muito e, por isso, está a ser utilizado para a formação do superlativo absoluto analítico.

No Dicionário da Língua Portuguesa Contemporânea (2001) da Academia das Ciências de  Lisboa, mesmo é classificado como advérbio2, ao qual, entre outros valores, se atribui o de «em grau elevado, de modo intenso, pleno», em sinonímia com muito e totalmente.

1 Cf. Dicionário Terminológico.