A palavra engulhada existe e encontra-se registada no Dicionário da Língua Portuguesa da Academia das Ciências de Lisboa. Trata-se do particípio passado feminino do verbo engulhar.
O verbo engulhar significa «causar repugnância, náuseas, dar vómitos ou engulhos; sentir-se nauseado», sendo enjoar, enojar e nausear alguns dos seus sinónimos. Apresenta ainda uma segunda aceção, assinalada como pouco usada: «causar grande desejo; sentir ânsias».
Também a Infopédia regista o verbo, incluindo, na sua forma pronominal, as aceções de «sentir náuseas» e, em sentido figurado, «aborrecer-se».
Assim, a palavra é legítima, embora pareça ser hoje pouco frequente e possa, por isso, causar estranheza a muitos falantes.
Na frase apresentada – «À resposta do enfermeiro, a utente respondeu engulhada» –, se a intenção for transmitir a ideia de que a utente respondeu com repugnância ou aversão, poder-se-á entender «À resposta do enfermeiro, a utente respondeu enojada», ou, então, se a intenção for transmitir a ideia de que a utente respondeu aborrecida, poder-se-á entender «À resposta do enfermeiro, a utente respondeu aborrecida».