Recomenda-se «como o quê», com acento circunflexo sobre o e, para marcar a sua tonicidade em final de frase, de acordo com indicação do Dicionário Houaiss.
No referido dicionário, não se encontra «como o quê», mas regista-se uma variante, a locução «como quê»1, com duas aceções:
(1) «de modo incomparável, muito bem»: «ela declama como quê»;
(2) «em grande quantidade ou intensidade»: «ele fala como quê», «comeu-se como quê», «forte como quê».
Trata-se, portanto, de uma expressão que marca intensidade, como forma «de expressar valores elevados de uma escala a que está associado o significado de adjetivos», conforme se aponta na Gramática do Português (Fundação Calouste Gulbenkian, 2013-2020, p. 2162), onde se elencam vários exemplos entre os quais se incluem construções introduzidas por como («rápido como um relâmpago», «feliz como nunca/ninguém»).
Não foi aqui possível dispor de informação sobre a origem de «como o quê», mas a sua configuração parece uma simplificação de expressões como «como não sei o quê». Em Portugal, é corrente dizer-se «como sei lá o quê» (ou «como sei lá eu»), no sentido de «muito» ou «muitíssimo»: «O chá está quente como sei lá o quê!»; «Corri (como) sei lá o quê!» (neste último caso, é possível omitir como).
1 É possível tratar «como o quê» e «como quê» como variantes concorrentes, tal como acontece com os interrogativos o que e que e as formas tónicas correspondentes o quê e quê. No Dicionário Unesp do Português Contemporâneo também se regista como quê em subentrada a quê, com o significado de «trememendamente, demais» e abonado pela frase «uma cabritinha esperta como quê». O seu registo apenas em fontes lexicográficas brasileira aponta para se tratar de um uso característico do Brasil.