O Dicionário da Língua Portuguesa Contemporânea, da Academia das Ciências de Lisboa, atesta os advérbios cordialmente e atenciosamente com os seguintes significados:

(1) cordialmente: «Demonstrando apreço e consideração; com boa educação e gentileza; de modo cordial.»

(2) atenciosamente: «Com amabilidade, delicadeza e cortesia; usa-se como fórmula de desfecho em correspondência formal ou comercial, antes da assinatura.»

Ora, atendendo aos seus significados, podemos inferir que os dois advérbios são semanticamente sinónimos quando, em correspondência, nos despedimos, demonstrando delicadeza e boa educação. Usá-los em simultâneo é, então, um pleonasmo, sem finalidade expressiva, e, portanto, não se recomenda que ocorram em simultâneo.