A única forma aceitável é perguntando-lhe, pois o verbo perguntar selecciona um complemento indirecto (preposicionado): «Quem pergunta... pergunta a alguém», o qual só pelo pronome clítico na forma dativa pode ser substituído.

Os pronomes clíticos dativos, ou seja, os pronomes pessoais átonos que podem ocupar a posição do complemento indirecto são me (1.ª pessoa singular), te (2.ª pessoa singular), lhe (3.ª pessoa singular), nos (1.ª pessoa plural), vos (2.ª pessoa plural), lhes (3.ª pessoa plural). Veja-se alguns exemplos:

«Ele perguntou à Maria [= perguntou-lhe] como conseguia dormir sentada.»

«Ele perguntou ao João [= perguntou-lhe] se queria uma pastilha.»

«Ele perguntou aos pais [= perguntou-lhes] quando chegavam de férias.»

O verbo perguntar assemelha-se a outros verbos, como telefonar, dar, comunicar, apresentar, etc., que também seleccionam complemento indirecto.

(Ver mais exemplos em «Ofereci-lhas ontem»: contracção de pronomes.)