Em Portugal, a expressão Ano Novo, escrita com maiúsculas iniciais, só é usada para designar «o primeiro dia de janeiro» (Grande Dicionário da Língua Portuguesa, da Porto Editora, 2004 e 2010; ver também versão em linha do Dicionário da Língua Portuguesa da Infopédia), um dia de festa (feriado nacional). Exemplo: «No dia de Ano Novo, gostamos todos de sair.»
Ora, o caso que nos apresenta não se refere ao dia feriado do 1.º de janeiro, tratando-se da expressão de votos relativos ao Natal e ao novo ano que se inicia. Portanto, os adjetivos novo e feliz deverão ser escritos com minúsculas iniciais.
Como é patente, tanto Ano Novo como «ano novo» não têm hífen em Portugal. No entanto, alguns dicionários publicados no Brasil hifenizam esta expressão – ano-novo (cf. 1.ª edição do Dicionário, de 2001, Houaiss e iDicionário Aulete) –, grafando-a com iniciais minúsculas mesmo quando se refere ao 1.º de janeiro1. Não é isto prática generalizada da lexicografia brasileira, porque o Dicionário Michaelis regista «ano novo», sem hífen e aparentemente com minúsculas iniciais, como subentrada de ano; mas a 5.ª edição do Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa da Academia Brasileira acaba por consagrar a forma que exibe um hífen. De qualquer modo, observe-se que no Acordo Ortográfico de 1990, a alínea e) do ponto 2 da Base XIX (Das Minúsculas e Maiúsculas) indica que «A letra maiúscula inicial é usada [...] nos nomes de festas e festividades: Natal, Páscoa, Ramadão, Todos os Santos.» Daqui se infere que no Brasil também se deve escrever com maiúsculas iniciais a expressão em referência: Ano-Novo.
1 Anote-se que a anterior norma ortográfica do Brasil, o Formulário Ortográfico de 1943, na sua secção XVI, 13.º, estipulava o seguinte: «Observação – Os nomes das festas pagãs ou populares escrevem-se com inicial minúscula: carnaval, entrudo, saturnais, etc.»