De acordo com o Dicionário Houaiss as duas locuções existem e são sinónimas quando significam: «dedicar-se a alguma coisa com grande empenho e interesse». Veja-se o exemplo:

(1) «O João levou a peito a tarefa» = «O João tomou a peito a tarefa»

As mesmas expressões podem ainda significar: «levar para o lado pessoal, ofender-se». 

(2) «O João levou/tomou a peito aquilo que o treinador lhe disse sobre o seu desempenho.»

Em (2), aquilo que se pretende dizer é que o João se ofendeu com o que lhe foi dito. 

Esta expressão com este significado está atestada, por exemplo, em Júlio Dinis, em Morgadinha dos Canaviais (Corpus do Português):

(3) «Há anos, porém, deu em tomar a peito o meu procedimento político e em pregar-me sermões e dirigir-me censuras, que eu fazia por escutar com a possível resignação.»