Trata-se, de facto, de um tipo especial de infinitivas, que Evanildo Bechara insere nas orações do tipo «Deixe-os fugir» (cf. Lições de Português pela Análise Sintáctica, 16. ª edição, Editora Lucerna, Rio de Janeiro, 2002).
Considera-se que a oração «Deixa-me primeiro dar-te algumas notícias minhas» é equivalente a «Deixa primeiro que eu te dê algumas notícias minhas».

A análise desta última frase será:

Oração subordinante: Deixa primeiro

Predicado: Deixa primeiro
Sujeito: Tu (subentendido)
Complemento directo: a oração subordinada substantiva completiva (ou integrante) que eu te dê algumas notícias minhas

Oração subordinada substantiva completiva (ou integrante): que eu te dê algumas notícias minhas
Sujeito: eu
Predicado: te dê algumas notícias minhas
Complemento directo: algumas notícias minhas
Complemento indirecto: te (a ti)

Na frase «Deixa-me primeiro dar-te algumas notícias minhas», a oração subordinada substantiva completiva é substituída por uma oração reduzida de infinitivo.

Teremos, então:
Oração subordinante: Deixa primeiro
Oração subordinada substantiva reduzida: dar-te (eu) algumas notícias minhas (= que eu te dê algumas notícias minhas)
Sujeito: me (eu)
Predicado: dar-te algumas notícias minhas
Complemento directo: algumas notícias minhas
Complemento indirecto: te (a ti)

Considera-se me sujeito de dar, tal como eu é sujeito de dê.