A conjugação perifrástica exige unidade de sujeito e unidade de acção.
Exemplos:

«Tive de estudar até tarde.»
«Ela está a fazer um bolo.»
«Vamos tratar do assunto.»

Por isso, o exemplo apresentado não se insere neste tipo de conjugação, uma vez que aí temos dois sujeitos diferentes («este barulho» e «eu») e duas acções diferentes (deixar e dormir).

Para se analisar a frase, fica mais claro se a substituirmos por uma equivalente: «Este barulho não deixa que eu durma.» Assim, a análise sintáctica será:

Oração subordinante: Este barulho não deixa
Sujeito: Este barulho
Predicado: não deixa

Oração subordinada substantiva completiva (ou integrante): que eu durma
Sujeito: eu
Predicado: durma

A oração subordinada constitui o complemento directo da subordinante.

Na frase «Este barulho não me deixa dormir», a oração subordinada substantiva completiva é substituída por uma oração reduzida de infinitivo.
Teremos, então:

Oração subordinante: Este barulho não deixa
oração subordinada substantiva reduzida: me dormir (=que eu durma)

Na oração reduzida, considera-se me sujeito de dormir, tal como eu é sujeito de durma.

É esta a análise proposta por Evanildo Bechara, em Lições de Português pela Análise Sintáctica, 16.ª edição, Editora Lucerna, Rio de Janeiro, 2002, que considera as orações do tipo «Deixe-os fugir» um tipo especial de substantivas reduzidas.