A grande diferença entre estas duas estruturas é sintactica! Tal como diz, as adversativas são coordenadas, e as concessivas são subordinadas. Do ponto de vista semântico, o valor predominante, tanto de uma estrutura como da outra, é a oposição ou o contraste. Há, no entanto, um conjunto de situações em que ocorre a adversativa e em que dificilmente aceitaríamos a concessiva.

Tenhamos em conta o pequeno ‘corpus’ que a seguir se apresenta:
(1) «Está a chover, mas o João vai sair.»
(2) «O João tem um bom currículo, mas é preguiçoso.»
(3) «A lareira está acesa, mas a porta está aberta» (retirado do artigo “O papel da semântica e da pragmática no estudo dos conectores”, de José Pinto de Lima, publicado na obra Introdução à Linguística Geral e Portuguesa).
(4) «A lareira está acesa, e a porta está aberta» (ibidem)
(5) «O João não foi ao cinema, mas ao teatro.»
(6) «Ela era bela, mas, principalmente, rara.» In Nova Gramática do Português Contemporâneo 
(7) «Vim, vi, mas não venci.»

Na maioria das situações, o contraste ocorre em frases como (1) e (2). Do ponto de vista do sentido, e partindo da análise da adversativa, é feita uma afirmação no primeiro membro da frase complexa que, isolada, nos levaria a concluir algo diferente do que é explicitado na coordenada. Assim, em (1), o facto de estar a chover poderia levar-nos a pensar que o João ficaria em casa. Todavia, contrariando esse raciocínio, ele vai sair. Repare-se que o ciclo da informação se fecha na frase complexa, contrariamente ao que acontece em (2). Nesta frase, o segundo membro não é uma solução, não fecha um ciclo. Imaginemos dois responsáveis de um júri que têm de tomar a decisão de dar ou não emprego ao João. Depois de lermos a frase (2) sabemos apenas que estão na mesa dois aspectos, um positivo, outro negativo. Mas não sabemos, explicitamente, como vai fechar-se o ciclo. Frases deste tipo são associadas ao texto argumentativo, considerando-se que (1) veicula uma mensagem fechada. Há uma afirmação e uma hipótese que é contrariada pela outra afirmação. Ao contrário, em (2), a mensagem é aberta. Há uma afirmação, sobre a qual se formula uma hipótese, e a afirmação seguinte, ainda que anule o efeito positivo da primeira, mantém a mensagem em aberto, pois, em vez de explicitar uma solução, abre uma nova hipótese. A primeira hipótese será: vale a pena dar-lhe emprego; a segunda orienta-se no sentido contrário. O sentido veiculado por estas frases tanto pode ser formulado através da adversativa como da concessiva:

(1.1) «Embora esteja a chover, o João vai sair.»
(2.1) «Embora tenha um bom currículo, o João é preguiçoso.»

Note-se que, do ponto de vista formal, a frase que é introduzida pela conjunção na coordenação vai ser a subordinante na concessiva. Habitualmente, sobretudo se a ideia veiculada for oposição ou contraste, esta é a transformação estrutural que ocorre na mudança (embora nem sempre seja assim). E as duas possibilidades estão à disposição do falante, que, todavia, prefere as adversativas. E, quando opta pelas concessivas, vai utilizar, sobretudo, estruturas em que não seja obrigado a usar o conjuntivo.

A afirmação que acabo de fazer pode ser facilmente confirmada. Basta que o consulente pegue num jornal e, em dois ou três artigos, sublinhe as concessivas e as adversativas que ocorrem. Ou então que pegue em trabalhos dos alunos e faça o mesmo tipo de pesquisa.

A par de (1) e (2), há muitas frases em que ocorre, preferencialmente, a adversativa, e outras em que é, mesmo, a única possibilidade, como creio ser o caso em (5), (6) e (7).

As frases (3) e (4) ilustram uma situação muito interessante, em que não só a coordenada adversativa pode “alternar” com a concessiva, como pode ainda o mesmo sentido ser veiculado por uma copulativa.

Em síntese, há, efectivamente, uma grande equivalência semântica entre um número considerável de frases que veiculam uma ideia de contraste, sejam elas construídas de forma a estabelecerem um nexo de coordenação (adversativa), ou de subordinação (concessiva).