Os verbos coçar e comichar são sinónimos quando com eles queremos dizer «produzir coceira/comichão». Por isso tanto é aceitável:
(1) «Urticária – caracterizada por placas avermelhadas com relevo na pele, que coçam muito.»
como:
(2) «Urticária – caracterizada por placas avermelhadas com relevo na pele, que comicham muito.»
Do mesmo modo, também é aceitável a construção «fazer comichar»:
(3) «Urticária – caracterizada por placas avermelhadas com relevo na pele, que fazem comichar muito.»
Neste último caso (3), estamos perante uma construção causativa, i.e., o verbo fazer exprime a ideia de que o sujeito da oração («placas avermelhadas com relevo») causa a ocorrência da ação ou processo.
Contudo, esta sinonímia parece só dar-se em português do Brasil1. Em português de Portugal, coçar usa-se essencialmente quando nos referimos a «esfregar uma parte do corpo com as unhas ou com um objeto áspero, para acalmar uma sensação de irritação ou prurido na pele» (Dicionário da Língua Portuguesa). Daí poder afirmar-se que em português de Portugal são mais comuns as frases (2) e (3).
Note-se, ainda, que o verbo comichar parece ter pouco uso, no registo oral, pelo menos. Em sua substituição, é comum ouvirmos a expressão «dar/ter comichão» (comichão, substantivo feminino, é de uso informal). Ainda assim, encontramos atestado:
(4) «Sim, vosmecê é moço.. deixou lá por Minas algum rabicho, e de vez em quando o coração lhe comicha» (Taunay, Afonso de E. Inocência. In Corpus do Português);
(5) «O cabelo comicha na testa» (Migués, José Rodrigues. A escola do paraíso. In Corpus do Português).
1 No Dicionário Houaiss e na versão em linha do dicionário de Caldas Aulete regista-se coçar como o mesmo que comichar (nota acrescentada em 03/06/2023).