Pode afirmar-se que as duas expressões apresentadas estão corretas. No entanto, há diferenças subtis entre o uso do pronome possessivo em Portugal e no Brasil.

Em português de Portugal, é mais comum que o pronome possessivo seja acompanhado de artigo definido, embora não seja obrigatório. Por isso, a frase:

(1) «por descargo da sua consciência» é perfeitamente aceitável e está de acordo com o uso mais frequente em Portugal.

Já em português do Brasil, a omissão do artigo definido antes do pronome possessivo ocorre com mais frequência, embora também não seja uma regra fixa. Dessa forma, é de supor que seja mais comum no Brasil ouvir-se ou escrever-se:

(2) «Por descargo de sua consciência».