É possível dizer ou escrever «morrer de morte», mas não parece tão frequente como «viver a vida» e pode até ter sabor arcaico ou certo caráter idiomático («morrer morte natural»):

1 — Pedes ao leão esfaimado do deserto que não devore a zebra que tem nas garras! Afrontou-me, e eu pago a afronta; reptou-me, e eu aceitei o repto. Morrerá morte infame de peão criminoso... (Alexandre Herculano, O Bobo, in Corpus do Português);

2 – [...] considerando que o réu António Maria das Neves Carneiro se acha incurso na disposição da Ordenação, etc., o condenam a que com baraço e pregão seja levado pelas ruas públicas desta cidade ao lugar da forca que se acha levantada no Cais do Tojo, e aí morra morte natural para sempre [...] (Camilo Castelo Branco, A Viúva do Enforcado, in Corpus do Português);

3 – As honras da primeira cabeça deu-as a alçada ao Tiradentes, o qual com baraço e pregão devia ser conduzido pelas ruas públicas ao lugar da forca e nela morrer morte natural [...] (Joaquim Norberto de Souza Silva, História da Conjuração Mineira, in Corpus do Português).

Mais habitual é ocorrer preposição – «morrer de morte...» –, e, nesse caso, o substantivo morte pode ser adjetivado de várias maneiras («morte natural», informalmente «morte morrida» – cf. Dicionário Houaiss –, ou, ainda, jocosamente «morte macaca»*). O verbo morrer pode também ser substituído por ter («ter morte natural»).

* Morte macaca: «morte inglória ou em circunstâncias desastrosas» (Dicionário Priberam da Língua Portuguesa).