A ordem mais habitual em frases deste tipo é:

(1) Foi a avó quem lhe deu a caneca de bronze.

Estamos perante uma frase complexa por subordinação em que a subordinada é uma relativa livre ou sem antecedente.

Classificação das frases:
Fazendo a classificação a partir da frase com a ordem canónica, temos:
«Foi a avó» – subordinante
«quem lhe deu a caneca» – subordinada substantiva relativa livre.

Análise sintáctica:
Sujeito da frase complexa: «quem lhe deu a caneca»
Predicado: «foi a avó»
Predicado simples: «foi»
Predicativo do sujeito: «a avó».
Sujeito da frase subordinada: «quem»
Predicado: «lhe deu a caneca»
Predicado simples: «deu»
Complemento directo: «a caneca»
Complemento indirecto: «lhe»

Como é que esta análise se concretiza na frase que coloca ao nosso apreço? O complemento directo foi deslocado (destacado) para uma posição de tópico (início da frase) e foi repetido anaforicamente na posição que lhe é característica: antes do verbo, dado que integra uma frase relativa em que o complemento repetido tem a forma de pronome (lh)a.
Eu não optaria pelo uso de que, mas creio que seria possível: «Foi a avó que lhe deu a caneca de bronze.»