De uma forma geral, os verbos são sinónimos, podendo ser ambos usados com o sentido de «lançar bênção a»¹.

Poderá, não obstante, existir uma diferença na frequência de uso dos verbos relativamente a alguns dos seus significados. Abençoar tem maior amplitude de significação e é usado frequentemente com o sentido de «dar a bênção (divina)» ou de «bem-fadar / glorificar».

(1) «O sacerdote abençoou os fiéis.» 

(2) «Não sabe o que é verdadeira angústia de alma o que ainda não abençoou a morte que viu diante de si, o que a não invocou ainda como único remédio de seu mal, ou, o que é mais desesperado, como única saída de suas fatais perplexidades.» (Almeida Garrett, Viagens na Minha Terra)

Bendizer, por sua vez, surge sentido de «louvar», «agradecer por uma bênção»:

(3) «O povo bendisse a proteção concedida.»

(4) «Fosse como fosse, Francisco Dias atravessava as propriedades laboradas por estranhos e bendizia a hora em que Deus lhe tinha dado um filho de pé boto [...]» (Lídia Jorge, O vale da paixão)

Disponha sempre! 

1. Consultou-se o Dicionário Priberam (em linha).