O uso cada vez maior de submeter como submit deve-se muito provavelmente à influência inglesa, mas veja que mesmo em português há um significado parecido no Aulete Digital, acepção 1:

«Fazer que se renda ou obedeça, ou render-se, obedecer.»

Uma extensão de sentido como «submeter, meter, pôr embaixo de alguém, pôr embaixo dos olhos de alguém para que tal pessoa aprove ou não algo» parece-me bem possível por causa do prefixo sub. Procurei submittere em latim no Dictionnaire Gaffiot Latin-Français e não encontrei nada como «submeter um documento», mas pode-se ver que já em latim o verbo significava «submeter alguém ao jugo de outrem, etc». O interessante é que o Priberam parece não acolher esse significado de submeter. Veja que, sobre o cognato espanhol de submeter, someter, o Diccionario da Real Academia Española diz algo semelhante também (acepções 4 e 5):

«Proponer a la consideración de alguien razones, reflexiones u otras ideas»; «Encomendar a alguien la resolución de un negocio o litigio.»

Tradução livre: «Propor à consideração de alguém razões, reflexões ou outras ideias»; «Atribuir a alguém a resolução de um negócio ou litígio.»

O mesmo acontece com o cognato italiano, sottomettere, de acordo com o vocabulário do sítio do Instituto Treccani (acepção 2):

«Sottoporre, presentare al parere o al giudizio di altri.»

Tradução livre: «Subpor, apresentar ao parecer ou ao juízo dos outros.»

Em outras palavras, com um pouco de imaginação pode-se ver que submeter dito «à inglesa», ainda que não especificamente definido assim, pode adquirir, por extensão ou metonímia, o significado que parece não lhe agradar (e a mim tampouco, para dizer a verdade), mas nesta questão acho que o melhor é evitá-lo na minha fala e tolerá-lo na fala dos outros, o que não é um mau conselho em vários outros pontos da língua.