É difícil dar uma resposta completa sobre a diferença entre pegar e apanhar, porque, apesar de estes verbos terem significações próximas, nem sempre é possível, só com base nas suas acepções, identificar os contextos mais adequados a cada um; além disso, os dois verbos mostram diferenças entre o uso do português europeu (PE) e o do brasileiro (PB). O que aqui vou expor é, portanto, apenas uma primeira abordagem, feita do ponto de vista de um falante de PE.
Começo pelo uso de apanhar e pegar no PE, conforme os significados atribuídos pelo Dicionário do Português Básico (Porto, Edições ASA, 1991), de Mário Vilela (alguns exemplos foram adaptados):
APANHAR
como verbo transitivo
I. (pessoa) apanhar pessoa — a) «conseguir, agarrar, capturar»: «O polícia sempre apanhou o ladrão?»); b) «segurar»: «O bebé ia a cair mas foi apanhado a tempo.»
II. (pessoa) apanhar pessoa a + infinitivo ou adje{#c|}tivo — «surpreender, encontrar»: «O professor apanhou o Daniel a copiar/distraído.»
III. (pessoa) apanhar coisa concreta — a) «levantar do chão»: «Apanhei a luva (do chão)»; b) «colher»: «Apanhei flores»; c) «fazer colheita»: «No Outono apanha-se o milho.»
IV. (pessoa) apanhar meio de transporte — «tomar» (um meio de transporte): «Apanhei um táxi.»
V. (pessoa) apanhar coisa concreta — «apoderar-se de, herdar»: «O meu tio quer apanhar os bens do meu avô.»
VI. (pessoa) apanhar coisa concreta — a) «ser atingido»: «Apanhámos chuva»; b) «contrair doença»: «Apanhei uma grande constipação»; c) «descansar»: «Vou apanhar sol!»; d) «levar»: «Ele apanhou duas bofetadas»; e) «adquirir»: «O teu filho também apanhou o jeito de roer as unhas?»; f) «entender, compreender, perceber»: «Não consigo apanhar o que diz o professor de História.»
como verbo intransitivo
VII. (pessoa) apanhar — a) «levar pancada»: «A Irene apanhou do pai» (nesta acepção, tem também uso transitivo: «A Irene apanhou duas palmadas.»; b) «encontrar-se»: «Ele só quer apanhar-se em férias.»
PEGAR
como verbo transitivo (complemento preposicional)
I. (pessoa) pegar em coisa/com pessoa — a) «agarrar, prender, segurar»: «Pega no garfo como deve ser»; b) «principiar a dedicar-se, a executar»: «Ainda não peguei nos trabalhos de casa»; c) «brigar», «bulhar», «embirrar com»: «O meu irmão está sempre a pegar comigo.»
como verbo intransitivo
II. (o pessoa, coisa) pegar — a) «criar raízes»: «A roseira pegou muito bem»; b) «generalizar-se, difundir-se»: «Essa moda ridícula não pegou»; c) «ser acreditado, surtir efeito, colar»: «Essa história não pega»; d) «arder, acender, inflamar-se»: «A lenha pegou.»
como verbo pronominal
III. (pessoa, coisa) pegar-se: a) «ser contagioso»: «O sarampo pega-se»; b) «aderir, colar»: «O creme pegou-se todo ao fundo»; c) «discutir»: «Os miúdos pegaram-se.»
Confrontando apanhar e pegar, vemos que as acepções I deste se aproximam das acepções I, II, III e IV daquele.
Esta proximidade semântica é mesmo levada ao ponto de, em PB, ser possível usar pegar em frases onde o PE prefere apanhar. Pegar pode ainda ocorrer em contextos em que são mais correntes, em PE, verbos como arranjar, conseguir, colher, sair, buscar, ir. Ora vejamos (acepções e exemplos do PB retirados do Dicionário Houaiss):1
1 – «alcançar, encontrar, atingir»
PB: «a chuva pegou os romeiros na estrada», «ele não pegou o espetáculo no início», «não pegou a época dos bondes», «o carro deles era rápido e nos pegou logo»; PE: «a chuva apanhou os romeiros na estrada», «ele não apanhou o espectáculo no início», «não apanhou a época dos eléctricos», «o carro deles era rápido e apanhou-nos logo»
2 – «atropelar, chocar-se com, bater contra»
PB: «o carro pegou a moça», «o trem pegou o ônibus no cruzamento»; PE: «o carro apanhou a rapariga», «o comboio apanhou o autocarro no cruzamento» (neste caso, quando se fala de comboios, também é possível colher: «o comboio colheu o autocarro no cruzamento»).
3 – «capturar, prender»
PB: «pegou o ladrão»; PE: «apanhou o ladrão» (mas igual em PB e PE, quando se trata de «segurar» obje{#c|}tos: «peguei na xícara/chávena»)
4 – «ganhar», «passar a ter»
PB: «Pegou uma fortuna na loteca»; PE: «Saiu-lhe/conseguiu uma fortuna na lotaria.»
5 – «captar som ou imagem»
PB: «naquela área, a televisão pega só alguns canais», «o rádio não pega a FM fora da cidade»; PE: «naquela área, a televisão apanha só alguns canais», «o rádio não apanha a FM fora da cidade».
6 – «ir buscar»
PB: «vou pegar a chave»; «ela vem nos pegar aqui» (PB); PE: «vou buscar a chave» (apanhar é possível no regist{#|r}o informal; «ela vem apanhar-nos aqui» (PE, coloquial)
PB: «pegou a mulher em flagrante», «a notícia me pegou desprevenido»; PE: «apanhou a mulher em flagrante», «a notícia apanhou-me desprevenido».
8- «tomar (meio de transporte)»
PB: «pegou o avião», «pegou a moto e saiu»; PE: «apanhou o avião», «pegou na mota e saiu» (em PE, não se usa pegar, sendo apanhar o verbo aplicado a transportes públicos; «pegar no carro/na mota/no avião» deixa implícito que o meio de transporte pertence ao sujeito da a{#c|}ção»).
9 – «seguir caminho ou dire{#c|}ção»
PB: «pegou a avenida», «vou pegar a rua da esquerda»; PE: «apanhou a avenida», «vou apanhar a rua da esquerda» (outros verbos também ocorrem).
10 – «deslocar-se para um lugar, ir»
PB: «pegar uma praia», «pegar um cinema» (coloquial); PE: «ir à praia», «ir ao cinema»; não se usa pegar, nem mesmo coloquialmente, embora, coloquialmente, possa ocorrer «apanhar (uma) praia» (mas nunca *«apanhar um cinema»).
11 – «compreender, perceber»:
P: «esse menino pega o que ouve», «ela pega tudo o que lhe ensinam»; PE: «esse rapaz apanha o que ouve», «ela apanha o que lhe ensinam».
12 – «incluir, compreender»
PB: «o programa do curso de Arte não pega o Modernismo»; PE (coloquial): «o programa do curso de Arte não apanha o Modernismo.»
13 – «ser condenado a (pena)
PB: «pegou dez anos de cadeia»; PE (coloquial): «apanhou dez anos de cadeia».
14 – «apresentar dificuldade, atrapalhar, emperrar; empancar»
PB: «os preços pegam neste negócio», «este cavalo pega-se»; PE: «os preços atrapalham este negócio», «este cavalo atrapalha-se».
15 – «fazer o parto»
PB: «o médico já pegou a criança» (ao que parece, uso limitado, não confirmado na linguagem corrente); PE: usa-se simplesmente «fez o parto da criança».
1 Agradeço a Luciano Eduardo Oliveira uma série de observações que me levaram a alterar algumas passagens desta resposta.
