No contexto, a forma adequada é «as custas ficarão a cargo de fulano». A expressão «a cargo de» quer dizer «à responsabilidade de; por conta de». A expressão «assumir um encargo» tem significado parecido («arcar com a, uma despesa»), mas não se aplica a este contexto.

[Fonte: Dicionário Prático de Locuções e Expressões Correntes, de Emanuel de Moura Correia e Persília de Melim Teixeira, edição da Papiro Editora]