O correcto é dizer e escrever a frase «tenho o mesmo carro que ele», na qual a palavra que é um pronome relativo; este introduz uma oração relativa cujo verbo se omite, numa construção conhecida por elipse (ver João Andrade Peres e Telmo Móia, Áreas Críticas do Português, Lisboa: Editorial Caminho, pág. 180/181). Sem elipse, a frase é formada pela seguinte sequência «tenho o mesmo carro que ele tem».

O uso de do que é, pois, desaconselhável. Terá talvez surgido por causa do valor comparativo de muitas das frases em que ocorre o demonstrativo: «digo o mesmo que tu». Julgo que os falantes interpretam o pronome que como se fosse do que, que ocorre em frases comparativas a introduzir um segundo termo de comparação e em correlação com antes, mais, melhor, menos: «Antes/É mais interessante/É melhor/É menos interessante ir ao cinema (do) que ver televisão» (do pode ser omitido; ver dicionário da Academia das Ciências de Lisboa, s. v. que, conjunção).